Hướng dẫn giải, đáp án bài xích 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác hay gặp) – Chương 1: Hàm số lượng giác với phương trình lượng giác.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.
Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của nhì phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π với cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta tất cả sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), vì thế phương trình đang cho tương tự với
2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔
⇔
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔
Phương trình vẫn cho tương đương với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.
Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của nhì phương trình sau :
và
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình đổi thay 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.
Vậy
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
Quảng cáo
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.
Vậy
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Giải: a) thường thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã vì thế chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.
Vậy
b) cụ 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã đến trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) chũm sin2x = 2sinxcosx ;
Quảng cáo
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã mang lại và rút gọn ta được phương trình tương đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0
⇔
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2
⇔
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta bao gồm sinx + cosx = √2cos(x – π/4) đề xuất phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2
⇔
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1
⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).
Bài 6. a. Tung (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. Tung x + rã (x + π/4) = 1
Ôn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với cùng một hàm số lượng giác
Chỉ đề nghị thực hiên nhì phép thay đổi tương đương: nhảy số hạng không cất x quý phái vế yêu cầu và thay đổi dấu; phân chia hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta hoàn toàn có thể đưa phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm số lượng giác đựng ẩn phụ ta chuyển được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu như phương trình bậc hai có nghiệm thì nỗ lực giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép để ta sẽ tiến hành một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ cần xét trường thích hợp cả hai hệ số a, b hồ hết khác 0 (trường hợp một trong những hai thông số đó bởi 0 thì phương trình đề nghị giải là hpuwong trình hàng đầu đối với một hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã hiểu cách thức giải.
Cách 1: phân tách hai vế phương trình mang đến
Phương trình này đã biết phương pháp giải.
Chú ý : Để phương trình
Đó cũng là đk cần với đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c bao gồm nghiệm.
Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác
Hệ thống các công thức lượng giác rất nhiều mẫu mã nên những phương trình lượng giác cũng tương đối đa dạng. áp dụng thành thạo các phép đổi khác lượng giác các em rất có thể đưa những phương trình cần giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai so với cosx cùng sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể mang lại dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng phương pháp chia phương trình cho cos2x. Bởi vì sự đa dạng và phong phú ấy nên chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa phương pháp giải thông qua một số ví dụ nổi bật và các em hoàn toàn có thể nắm vững phương thức giải thông qua nhiều bài xích tập.
