Phương pháp giải:
Câu a: áp dụng công thức( an x = fracsin xcos x) và(cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b) để thay đổi phương trình.
Câu b:Sử dụng công thức( an x = fracsin xcos x);(sin (a + b) = sin a.cos b + mathop m cosa olimits .sin b) và(cos a.cos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>) để biến đổi phương trình.
Lời giải:Câu a:
Với điều kiện(left{eginmatrix 2x+1 eq fracpi 2+k pi\ \ 3x-1 eq fracpi 2+k pi endmatrix ight. , kin mathbbZ)hay(left{eginmatrix x eq fracpi 4-frac12+frack pi2\ \ x eq fracpi 6+frac12+frack pi3 endmatrix ight. , kin mathbbZ)
(Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1)
(1)(Leftrightarrow fracsin(2x+1)sin(3x-1)cos(2x+1)cos(2x-1)=1)
( Rightarrow cos(2x+1) cos(3x-1)-sin(2x+1) sin(3x-1) =0)
(Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)Leftrightarrow cos5x=0)
(Leftrightarrow 5x=fracpi 2+kpi,kin mathbbZ)
(Leftrightarrow x=fracpi 10+frack pi5,kin mathbbZ)(thoả điều kiện)
Vậy phương trình tất cả nghiệm(x=fracpi 10+frack pi5,kin mathbbZ.)
Câu b:
Điều kiện(left{eginmatrix cosx eq 0\ cos(x+fracpi 4) eq 0 endmatrix ight.)
Khi đó(tanx+tanleft ( x+fracpi 4 ight )=1)
(Leftrightarrow sinx.cosleft ( x+fracpi 4 ight )+cosx.sinleft ( x+fracpi 4 ight )= cosx.cosleft ( x+fracpi 4 ight ))
(Leftrightarrow sinleft ( 2x+fracpi 4 ight )=frac12 left < cosleft ( 2x+fracpi 4 ight ) +cos left ( - fracpi 4 ight ) ight >)
(Leftrightarrow 2sinleft ( 2x+fracpi 4 ight )-cosleft (2 x+fracpi 4 ight )= fracsqrt22)
(Leftrightarrow frac2sqrt5sinleft ( 2x+fracpi 4 ight ) -frac1sqrt5cos left (2x+fracpi 4 ight )=fracsqrt210)
(Leftrightarrow sinleft (2x+fracpi 4 -alpha ight )=fracsqrt210)
(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix 2x+fracpi 4-alpha = arcsin fracsqrt210 + k2 pi\ \ 2x+fracpi 4-alpha = pi - arcsin fracsqrt210 + k2 pi endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x= fracalpha 2-fracpi 8+ frac12arcsin fracsqrt210 + kpi\ \ x = fracalpha 2+frac3pi 8- frac12 arcsin fracsqrt210 + kpi endmatrix, k otin mathbbZ)
